ПОНЯТТЯ ПОХІДНОЇ

1.4. Поняття похідної

Розглянемо задачу, яка приводить до поняття похідної. Нехай ФУНКЦІЯ  виражає кількість виробленої продукції за час .

Знайдемо продуктивність праці у момент часу . За період від до  кількість продукції зміниться від  до. Тоді середня продуктивність праці за

 цей період , тому продуктивність праці у момент часу буде .

До поняття похідної приводить і задача ОБЧИСЛЕННЯ ШВИДКОСТІ.

Означення. Похідною функції  у фіксованій точці х називається ГРАНИЦЯ    за умови існування цієї границі (рис.6).

Похідна позначається  символами:  або . Тобто

 Рис. 6 

В науці і техніці поняття похідної  відіграє велику роль. Наприклад, прискорення – є похідна від швидкості за часом, теплоємність тіла – є похідна від кількості тепла за темпера-турою, швидкість радіоактивного розпаду – є похідна  від  маси радіоактивної речовини за часом і т.п. Вивчення властивостей і способів обчислення похідних та їхнє застосування до дослідження функцій – складає головний предмет ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ. 

Функція, що має похідну називається диференційовною.

Геометричний зміст похідної: похідна  є кутовим коефіцієнтом дотичної, проведеної до кривої , в точці з абсцисою х₀, який у свою чергу дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка даної функції, тобто (Рис.7).

Рис. 7

Рівняння дотичної до кривої , в точці з абсцисою х_{0 (Рис.8)}:

Рис. 8

Рівняння нормалі записують у вигляді:

(Нормаль – це пряма, що перпендикулярна до дотичної і проходить через точку .

Зауваження. Диференційовність функції , в точці з абсцисою х₀, означає існування єдиної дотичної до кривої в точці .

Таблиця похідних найпростіших елементарних функцій

Правила диференціювання

Нехай ,   – функції, що мають похідні, тобто диференційовні. Тоді можна довести, що:

1. .

2. Якщо х – незалежна змінна, то розглянувши функцію

   , легко показати, що

3. .

4. .

5. .

6. , за умови,що .