ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЙ

1.6. Диференціал функцій

Нехай ФУНКЦІЯ ДИФЕРЕНЦІЙОВНА на відрізку . Як було зазначено раніше, ПОХІДНА цієї функції в будь-якій точці х₀ відрізка визначається рівністю

.

Ця рівність еквівалентна рівності

, де  при .

Тоді приріст функції в точці х₀ набуває вигляду

Якщо не дорівнює нулю , то то  є нескінченно малюю вищого порядку ніж нескінченно малі  та , при . Тому добуток , який є лінійним (пропорційним) відносно  в цій точці , називають головною частиною приросту  функції .

Означення. Диференціалом функції в точці х₀ називають добуток похідної функції в цій точці на приріст аргументу  в цій точці.

Отже, диференціал, який позначають через або – це головна частина приросту функції в цій точці тобто

Оскільки  х – незалежна змінна, то розглянувши функцію , легко з'ясовуємо, що для неї  (рис.9).

Рис. 9

Тому для незалежної змінної  х

Отже, формулу для запису диференціала можна переписати по іншому:

Розглянемо геометричний зміст диференціала. Проведемо дотичну до графіка функції в точці х₀ –  MB (рис 10).

Рис. 10

З : .

Отже, диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функції в точці х_0.