ЕКСТРЕМУМИ ФУНКЦІЇ

1.9. Локальні екстремуми функцій

Точка х₀ називається точкою локального максимуму ФУНКЦІЇ , якщо для будь-яких досить малих   виконується нерівність.

Точка х₀ називається точкою локального мінімуму функції , якщо для будь-яких досить малих   виконується нерівність.

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції , а значення функції в екстремальних точках – її екстремальними значеннями.

Необхідну ознаку локального екстремуму дає така теорема:

Теорема 1 (необхідна умова локального екстремуму). Якщо функція має в точці х₀ локальний екстремум, то або , або не існує.

Точки, в яких функція визначена та неперервна, а похідна  або не існує, називаються критичними точками функції.

Рис. 11 

!    Дотичні до графіка функції в точках, в яких похідна більша нуля - позначені зеленим кольором, в яких менша нуля - червоним, в яких дорівнює нулю - чорним

Теорема 1 має такий геометричний зміст: Якщо точки х₁, х_2, х₃ - точки локального екстремуму і у відповідних точках графіка існують невертикальні дотичні, то ці дотичні паралельні осі ОХ.

Теорема 2 (достатня умова локального екстремуму).  Нехай функція неперервна в деякому інтервалі  який містить критичні точки х_1,2  і ДИФЕРЕНЦІЙОВНА  в усіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самих точок х_1,2).

Якщо для х< х₁ ПОХІДНА , а для х> х₁– , то в точці х=х₁ функція має максимум.

Якщо для х< х₂ похідна , а для х> х₂   – , то в точці  х=х₂ функція має мінімум .

Іншими словами: якщо при переході зліва направо через точку х₂ похідна  змінює свій знак з "–" на "+", то в точці х₂ функція має мінімум, якщо з "+" на "–",як в точці х₁  то – максимум (Рис.11).

Теорема 3.  Нехай функція двічі диференційовна в околі точки х₀ і . Тоді в точці х=х₀ функція має локальний максимум, якщо в цій точці  , і локальний мінімум,  якщо .

Якщо ж , то точка х=х₀ може й не бути точкою екстремуму.    

Звідси випливає такий  алгоритм знаходження екстремальних точок:

• 1.    знаходимо критичні точки функції , тобто точки , в  яких  або не існує;

• 2.    перевіряємо зміну знаку похідної при переході аргумента через критичні точки зліва направо.

   Або інший алгоритм:

• 1.  знаходимо критичні точки функції .
• 2.  знаходимо другу похідну і обчислюємо її значення в цих точках. Якщо значення другої похідної в критичній точці від’ємне, то дана точка є точкою максимуму; якщо значення другої похідної додатне, то точка є точкою мінімуму.