ЗРОСТАННЯ ТА СПАДАННЯ ФУНКЦІЇ

1.10. МОНОТОННІСТЬ ФУНКЦІЇ

Проміжки, на яких задана функція зростає або спадає називають проміжками монотонності цієї ФУНКЦІЇ.

Теорема1 (достатні умови строгої монотонності). Якщо функція ДИФЕРЕНЦІЙОВНА на інтервалі  і  всюди, крім, можливо, скінченного числа точок, в яких  на , то функція зростає на .

Якщо функція диференційовна на інтервалі і  всюди, крім, можливо, скінченного числа точок, в яких на , то функція спадає  на .

Теорема 2 (необхідна умова монотонності). Якщо диференційовна на інтервалі функція зростає, то .

Якщо диференційовна на інтервалі функція спадає, то (Рис.14).

Рис. 14

 ! точки, в яких похідна більша нуля - позначені зеленим кольором, в яких менша нуля - червоним, в яких дорівнює нулю - чорним

 Теорема 2 має такий  ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ: якщо на інтервалі функція  зростає, то дотична до кривої
  у кожній точці утворює з додатнім напрямом осі ОХ гострий кут або (в окремих точках) горизонтальна; тангенс цього кута невідємний. Якщо на інтервалі функція спадає, то кут нахилу дотичної тупий, або (в окремих точках) дотична горизонтальна; тангенс цього кута не додатній:.

Для знаходження проміжків зростання та спадання диференційовної функції діємо у такий спосіб:

Знаходимо:

• 1) точки, в яких ПОХІДНА, а також точки, в яких похідна  не існує але функція визначена; 

• 2) визначаємо знак похідної на кожному проміжку, на які розбивають область визначення функції знайдені точки.

Для цього достатньо обчислити її значення при будь-якому значенні аргумента, що належить цьому проміжку.