ОПУКЛІСТЬ ФУНКЦІЇ. ТОЧКИ ПЕРЕГИНУ

1.12.Опуклість функції. Точки перегину

Означення. Графік ФУНКЦІЇ  називається опуклим вниз на інтервалі , якщо він розміщений не нижче за довільну дотичну, проведену до цього графіка в будь-якій точці  інтервалу .

Означення. Графік функції називається  опуклим вгору на інтервалі , якщо він розміщений не вище за довільну дотичну, проведену до цього графіка в будь-якій точці інтервалу (рис.1.8).

Теорема (необхідна умова опуклості). Якщо функція опукла вниз на , то ,  для .

Якщо функція опукла вгору на , то  для .

Теорема (достатня умова опуклості). Якщо друга ПОХІДНА двічі ДИФЕРЕНЦІЙОВНОЇ  функції на , то графік функції опуклий вниз на цьому інтервалі. Якщо друга похідна двічі диференційовної функції на , то графік функції опуклий вгору на цьому інтервалі (рис.10).

                                        РИС. 10

Наприклад, графік функції опуклий вниз на всій числовій прямій, бо  на всій числовій осі.

Означення. Точкою перегину графіка неперевної функції називається точка, що розділяє інтервали, в яких функція має різні напрями опуклості

(рис. 1.3).

Нехай – неперервна.

Теорема (необхідна умова перегину). Якщо х₀ – точка перегину  функції , то .

Рис. 1. 8

Теорема (достатня умова перегину). Якщо , при переході через точку х₀, в якій =0 або не існує,  змінює свій знак, то х₀ є точкою  перегину графіка функції.

Для знаходження інтервалів опуклості і точок перегину двічі диференційовної функції діємо у такий спосіб:

Знаходимо:

1) точки, в яких друга похідна дорівнює нулю, а також точки, в яких функція визначена, але друга похідна не існує; 

2) визначаємо знак другої похідної на кожному проміжку, на які розбивають область визначення функції знайдені точки.