ПРИКЛАДИ

1.14  Загальна схема дослідження функції і побудови  

          графіка

Приклад 1.25. Побудувати графік функції .

1.  Функція визначена і неперевна при всіх , крім точок  . Тобто . Область значень функції .

2.  Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат. Якщо , , то х=0. Якщо х=0. , то . Отже – єдина точка перетину графіка з осями координат.

3.  Функція непарна, бо  і тому графік функції симетричний відносно початку координат. Таким чином, дослідження  достатньо провести на проміжку .

4.  Функція неперевна при всіх , крім точок . Оскільки , , то  – двостороння вертикальна асимптота.

5.  Знайдемо похилі АСИМПТОТИ ,

Таким чином,  – права похила асимптота.

Оскільки   ,

 то пряма є також і лівою похилою асимптотою.

6.  Для знаходження точок екстремуму функції та інтервалів монотонності знайдемо похідну:

.

Похідна дорівнює нулю в точках x = 0,  та не існує в

точці х=2.  Зазначимо, що на проміжках   і    і тому функція спадає, а на інтервалі   і тому функція зростає. Очевидно, що точка  є точкою мінімуму.

7.  Для знаходження проміжків опуклості і точок перегину, знайдемо другу похідну: . Похідна y'' дорівнює нулю в точці x=0 і не існує в точці х=2.

На інтервалі   і тому функція опукла  вгору, а на інтервалах    і тому функція опукла вниз. Крім того, точка х=0 є точкою перегину, оскільки друга похідна змінює знак при переході через цю точку.

 .

8.  Використовуючи результати дослідження, будуємо графік функції (рис. 1.16).