НЕПЕРЕРВНІСТЬ І ДИФЕРЕНЦІЙОВНІСТЬ ФУНКЦІЙ

Неперервність і диференційованість

Якщо y = ƒ(x) — Диференційована функція">диференційована в точці a, тоді ƒ також має бути неперервна а точці a. Для прикладу, виберемо точку a і нехай ƒ буде кроковою функцією, що дорівнює 1, для всіх x менших ніж a і дорівнює іншому значенню, скажімо 10, для всіх x, які більші або дорівнюють a. ƒ не має похідної в точці a. Якщо h — від'ємне, тоді a + h знаходиться на нижній сходинці функції, тоді січна лінія від a до a + h дуже круто піднімається вгору і якщо h прямує до нуля тоді нахил лінії прямує до нескінченності. Якщо h додатнє, тоді a + h на верхній сходинці і січна лінія від a до a + h має нахил, що дорівнює нулю. Відповідно січні лінії не

Рис. 12                                                утворюють єдиний нахил, отже границя від відношення приростів не існує.

Проте якщо функція неперервна в точці, тоді вона не обов'язково диференційована в цій точці. Наприклад, функція  y = |x| є неперрервною в точці x = 0, але не є диференційована в цій точці. Якщо h додатнє, тоді нахил січної лінії від 0 до h дорівнює одиниці, якщо h від'ємне, тоді нахил січної лінії від 0 до h дорівнює -1. На графіку цю точку видно як «зубець» в точці x = 0. Навіть функції з графіком без «зубців» не є диференційовані в точці де дотична лінія є вертикальна: наприклад функція y = ³√x не є диференційована в точці x = 0.

Підведемо підсумки: щоб отримати похідну від функції ƒ необхідна умова щоб функція ƒ була неперервною,

Рис. 13                                                 але тільки цього не достатньо.

Більшість функцій, що зустрічаються на практиці мають похідні у всіх точках, або майже у всіх точках. Раніше на початку вивчення математичного аналізу, багато математиків припускали, що неперервна функція диференційована в більшості точок. Для м’яких умов, наприклад якщо маємо монотонну функцію або Ліпщицову функцію це формулювання справедливе. Проте в 1872 Вейерштрас знайшов перший приклад функції, яка неперервна усюди, але не є диференційованою в жодній точці. Ця функція відома як Вейерштрасова.