ГРАНИЦЯ ПОСЛІДОВНОСТІ ТА ФУНКЦІЇ

Границя послідовності та функції

Означення. Числовою послідовністю називається нескінченна множина дійсних чисел , кожне з яких є ФУНКЦІЄЮ свого порядкового номера: (Рис.2).

Ця формула є формулою загального члена послідовності.

Наприклад, для послідовності  загальний член

Рис.2

Означення. Число  називають ГРАНИЦЕЮ  послідовності якщо для довільного, як завгодно малого  існує число  таке, що нерівність  виконується для всіх .

Символічно пишуть

.

Послідовність, яка має границю називається збіжною.

Нехай задано функцію  y=f(x)   з областю визначення D(f), а також послідовність значень аргумента , що задовольняє такі умови:

1) для будь-якого ,  ,   2)   .

Якщо для будь-якої послідовності , що задовільняє дані умови, відповідна послідовність значень функцій  збігається до числа A , то це число називається границею функції при   :

.

Існує й інше означення границі функції в точці.

Означення. Число A називають границею функці  y=f(x) при x, що наближається до , якщо для довільного як завгодно малого числа існує число  таке, що , як тільки .

На Рис. 3 подано графік функції, збіжної до числа L.

Рис.3 

 Це записується у вигляді .

Рис. 4

Якщо  і , то пишуть ; аналогічно, якщо  і , то пишуть .

Числа  і  називають відповідно границею зліва функції  y=f(x) у точц і границею справа функції  y=f(x) у точц .

На Рис. 4 продемонстровано приклад графіка функції, який має різні односторонні границі в т.х=2

Для існування границі функції y=f(x) при необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність:

.

Означення. Функцію  називають нескінченно малою (величиною) при , (або при x, що прямує до нескінченності), якщо  (або ).

Властивості нескінченно малих функцій:

1)    алгебраїчна сума нескінченно малих функцій є нескінченно малою функцією;

2)    добуток нескінченно малої функції на обмежену функцію є нескінченно мала функцією;

3)    добуток нескінченно малих функцієй є нескінченно малою функцією;

4)    частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю, є нескінченно малою функцією.

Означення. Функцію y=f(x) називають нескінченно великою величиною при (або при  x, що прямує до нескінченності), якщо  (або

Теорема.  Якщо при  функція нескінченно мала, то функція  при нескінченно велика, і навпаки, якщо при  , y=f(x) – нескінченно велика, то функція    при нескінченно мала.

Властивості границь функцій.

Якщо існують границі  і , то мають місце такі теореми:

1. ;

2. ;

3.  .

Коли , то з 2 випливає, що

.

Це означає, що сталий множник можна виносити за знак границі.

Важливе значення мають такі границі:

 Перша визначнаграниця: 

Наслідки: 

а) ;

б) ;

в);

     г) ;

     д) .

 Друга визначна границя:

Число e  – ірраціональне число, що дорівнює 2,718281… .

Якщо зробити заміну , то при , , матимемо

 Наслідки:

     а) ;

   б)  ;

    в) ;

    г) .

Дробовий вираз, чисельник і знаменник якого прямують до нуля, називається невизначеністю типу  Дробовий вираз, чисельник і знаменник якого прямують до нескінченності, називається невизначеністю типу  Знаходження границь таких виразів називається розкриттям невизначеності. Є невизначеності:   та інші.