Просте число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

Натуральне число p називається простим, якщо воно має рівно два дільники1 і саме число p. Наприклад, числа

4=2\cdot2, \quad 15=3\cdot5, \quad 3913=7\cdot13\cdot43 — не є простими,
а >2, 11, 59 — прості.

Перші десять простих чисел такі:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

дивіться також список простих чисел.

Зміст

[сховати]

[ред.] Деякі факти про прості числа

[ред.] Розкладання числа у добуток простих чисел

Будь-яке натуральне число можна розкласти в добуток простих чисел, і цей розклад буде однозначним з точністю до порядку множників.

Доведення: Спочатку доведемо існування розкладу для будь-якого числа M. Число M або є простим (і, отже єдиним чином розкладається у добуток 1*M), або має якнайменше один дільник окрім 1 та M (назвемо цей дільник d). Додамо число d до списку дільників числа M, і продовжимо наш процес з числом M1 = M / d. Очевидно, що на кожному кроці нашого процесу число зменшується. Оскільки число M скінченне, то через скінченну кількість кроків ми отримаємо повний список простих дільників числа M.

Доведемо тепер однозначність розкладу (знову скористаємось методом від супротивного). Нехай існують два різних розклади M = P1*P2*...*PN та M = S1*S2*...*SK. Очевидно, має існувати множник Pi, який міститься в першому розкладі, але не міститься в другому. Оскільки Pi міститься в першому розкладі числа M, то число M має ділитись на Pi, а, отже, і добуток S1*S2*...*SK має ділитись на Pi. Оскільки Pi - просте, і не має інших дільників крім 1 і себе, то для того, щоб добуток S1*S2*...*SK ділився на Pi, то деякий множник Sj має ділитись на Pi. Оскільки Sj — просте число, що ділиться на Pi, то це означає, що Sj = Pi. Отже, Pi міститься у другому розкладі також, що суперечить нашому припущенню. Доведення закінчено.

[ред.] Нескінченність множини простих чисел

Як було доведено грецьким математиком Евклідом, існує нескінченно багато простих чисел. Евклід використав метод доведення від супротивного. Припустимо, що множина простих чисел — скінченна. Тоді ми можемо перенумерувати всі прості числа: P1, P2, P3, ..., PN. Розглянемо число M = P1*P2*P3*...*PN + 1. Очевидно, число М не може ділитись націло на жодне з простих чисел P1, ..., PN (оскільки число (M - 1) ділиться націло на кожне з них). Отже, або число М є простим, або воно ділиться на якесь інше просте число, яке не увійшло до нашого списку. У будь-якому випадку, ми знайшли просте число, яке не входить до нашого списку простих чисел P1, P2, P3, ..., PN, що протирічить нашому припущенню. Отже, існує нескінченно багато простих чисел.

[ред.] Застосування простих чисел

Великі прості числа (порядка 10300) використовуються в криптографії з відкритим ключем. Прості числа також використовуються в хеш-таблицях і для генерації псевдовипадкових чисел.

[ред.] Дивіться також

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | p-adic numbers | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність


Особисті інструменти